وبلاگ

viii. برای ، بطور پیوسته مشتق­پذیر بوده و برای ، باشد.

آنگاه، برای ، به طور مجانبی دارای توزیع است که در آن ، و . در رابطه آخر
و در نظر گرفته شده است.
همچنین، فرض کنید تجزیه مقدار ویژه^[۳۲] باشد که در آن یک ماتریس یکانی^[۳۳] و است. آنگاه، برای ، به طور مجانبی دارای توزیع خواهد بود، که در آن و به ترتیب دارای توزیع مجانبی و بوده و مستقل نیز هستند. توجه کنید که، برای ، به صورت تعریف شده و است.
برای درک مفهوم قضیه ۲-۵، به ارزیابی برخی از کمیت­ها تحت فرض و ، برای برخی مقادیر و صحیح، به طوری که و برای برخی
باشد، می­پردازیم. در این حالت، می­توان نشان داد که

که در آن برای برخی مقادیر ، و ،
,
است.
این نتیجه یک احتمال از قله از طیف خط در دوره­نگار لاپلاسی را آشکار می­ کند. قله طیف در در فرکانس­های همساز از سیگنال سینوسی و در فرکانس­های را آشکار می­ کند.
به طور خاص، باید سه حالت زیر را بصورت جداگانه بررسی کرد:
حالت ۱:
یک فرکانس همساز یا نیم­همساز^[۳۴] نیست، به این معنی که،
به این فرکانس، فرکانس نوع یک می­گویند. در این حالت، ، است و، بنابراین،
و است. در این صورت، دارای توزیع مجانبی خواهد بود و در نتیجه:

این بدان معنی است که فرکانس نوع یک دوره­نگار لاپلاسی و سیگنال آزاد^[۳۵] یکسانی دارند با این تفاوت که مولفه مقیاس با جایگزین شده است. قله طیف در به عنوان یک کمیت وابسته به سیگنال آشکار است.
حالت ۲:
یک فرکانس نیم­همساز است، به این معنی که، برای برخی از عدد صحیح فرد ، است. این نوع فرکانس را فرکانس نوع دو می­نامیم. این امر تنها در صورتی امکان­ پذیر است که عدد صحیح و زوج باشد. در این حالت، ، و است و،بنابراین، به طور مجانبی دارای توزیع خواهد بود، که در آن
است.
از آنجایی که الزاما متناسب با نیست، دوره­نگار لاپلاسی در فرکانس­های نوع دوم عموما دارای توزیع مقیاس مرکزی شده^[۳۶] نخواهد بود، بلکه توزیع آن به صورت مجموع وزنی از دو متغیر تصادفی مستقل مرکزی است. حتی در حالت خاصی که در آن ، تنها می­توانیم نتیجه بگیریم که است که در آن و
لازما برابر نیستند. با این حال، می­توانیم را برابر با فرض کنیم و تقریب مرتبه اول را به صورت زیر بدست آوریم:

عامل رابطه (۲-۹) را از رابطه (۲-۸) متمایز می­ کند. با قرار دادن ، توزیع رابطه (۲-۹) با میانگین مجانبی دوره­نگارهای لاپلاسی، که برابر است، هماهنگ خواهد بود. سیگنال های وابسته از فاکتور مقیاس عامل آشکاری از قله طیف از سیگنال است.
حالت ۳:
فرکانس همساز است، یعنی، برای برخی از عدد صحیح ، است و آن را فرکانس نوع سه می­نامیم. در چنین فرکانسی، مقداری غیر صفر است و رابطه (۲-۷) را نمی­ توان بیش از این ساده کرد و، بنابراین، دوره­نگار لاپلاسی به صورت مجموع وزنی از دو متغیر تصادفی مستقل با توزیع نامرکزی است به طوری که با بهره گرفتن از تقریب مرتبه اول می­توانیم رابطه زیر را بنویسیم: