وبلاگ

در این حالت و در صورت معکوس­پذیر بودن ماتریس برآورد پارامتر به صورت
خواهد بود. با جایگزین کردن توان دو با قدرمطلق در رابطه (۱-۱۵) برآوردگرهایی بدست می­آیند که با نام برآوردگرهای کمترین قدر مطلق انحرافات شناخته می­شوند. در حقیقت، این برآوردگرها مینیمم کننده عبارت

هستند. در جدول زیر برخی از ویژگی­های روش کمترین قدر مطلق انحرافات با روش کمترین مربعات مقایسه شده است.

روش کمترین قدر مطلق انحرافات
روش کمترین مربعات

*پایا^[۱۳] است
*ناپایدار
*امکان وجود بیش از یک جواب
*پایا نیست
*جواب پایدار^[۱۴]
*در معکوس پذیر بودن ماتریس x دارای تنها یک جواب است

روش کمترین قدر مطلق انحرافات به دلیل پایا بودن در بسیاری از زمینه­ها دارای کاربرد است. پایا بودن روش کمترین قدر مطلق انحرافات به معنی مقاوم بودن در برابر داده ­های پرت است. این امر در مطالعاتی که داده ­های پرت را نادیده می­گیرند می ­تواند مفید باشد. اما اگر در نظر گرفتن و بررسی تمام داده ­های پرت اهمیت داشته باشد، روش کمترین مربعات انتخابی بهتر خواهد بود. پایدار نبودن روش کمترین قدر مطلق انحرافات بدین معنی است که اگر داده ها را به صورت افقی مقداری جابجا کنیم خط رگرسیونی بدست آمده از این روش تغییر خواهد کرد. وجود بیش از یک جواب در روش کمترین قدر مطلق انحرافات به دلیل یکتا نبودن میانه در برخی از توزیع­های آماری است (برای توضیحات بیشتر به کتاب روش­های ناپارامتری بهبودیان (۱۳۷۹)مراجعه کنید). وجود بیش از یک جواب به عنوان مثال مساله یافتن میانه ۱۰ عدد را در نظر بگیرید که برای این منظور میانگین عدد پنجم و ششم به عنوان میانه در نظر گرفته می­ شود. این در حالی است که کلیه اعداد بین عدد پنجم و ششم می­توانند به عنوان میانه انتخاب شوند. البته یافتن جواب یکتا با انتخاب یک معیار مناسب میسر است.

۱-۸ رگرسیون چندکی^[۱۵]
روش کمترین مربعات خطا^[۱۶] منجر به برآوردگرهایی می شود که بر اساس امید شرطی متغیر پاسخ به شرط متغیر پیش بینی محاسبه می­شوند. اما در رگرسیون چندکی هدف تخمین میانه و یا چندک متغیر پاسخ است. از مزایایی رگرسیون چندکی می­توان به پایا بودن نسبت به مشاهدات پرت این برآوردگرها اشاره کرد. در مسایل کاربردی زمانی از رگرسیون چندکی استفاده می­ شود که علاقمند به استفاده از معیارهای مرکزیت و پراکندگی متفاوتی برای دستیابی به تحلیلی جامع برای ارتباط بین متغیر ها باشیم. به عنوان مثال می­توان به نمودارهای رشد اشاره کرد که در آن منحنی­های چندک برای بررسی رشد غیر عادی مورد استفاده قرار می­گیرند.
۱-۸-۱ چندک­ها
متغیر تصادفی حقیقی با تابع چگالی وتابع توزیع را در نظر بگیرید. امین چندک را می توان از رابطه
بدست آورد که در آن متعلق به بازه (۱و۰) است. چندک­ها بر اساس یک مساله بهینه­سازی ساده ساخته می­ شود. تابع زیان را در نظر بگیرید.
هدف تعیین مقدار به قسمی است که زیان مورد انتظار کمترین مقدار خود را داشته باشد:

۱-۱۶

با مشتق گیری نسبت به و برابر با صفر قرار دادن رابطه بدست آمده خواهیم داشت:
و بنابراین
درنتیجه
و می­توان نتیجه گرفت که مقدار که رابطه (۱-۱۶) را مینیمم می­ کند مقدار چندک ام توزیع است.
بیان چندک­ها به عنوان راه­حلی برای مساله بهینه­سازی ذکر شده در بالا منجر به ارائه روش­هایی برای تخمین مدل بر اساس توابع چندک شرطی می­ شود. همانگونه که قبلا اشاره شد در مدل رگرسیون خطی به فرم رابطه (۱-۱۴) که مدل بر اساس میانگین شرطی نوشته می­ شود ، مقدار با بهره گرفتن از مینیمم کردن رابطه بدست می ­آید. در مدل رگرسیون چندکی، مدل بر اساس چندک شرطی نوشته می- شود و هدف پیدا کردن مقدار به قسمی است که رابطه: