وبلاگ

→∞
٣.٣. سیستمهای ت رار توابع کمین ۵٣
نتیجه ٣.٢.٠١. اگر (E ∈ K(D بهطوریکه برای هرi ⩽ k ⩽ ۱ داشته باشیمS_i(E) ⊆ E . آن اه =F

.
برهان. چون مطابق با فرض داریمi ⩽ k , S_i(E) ⊆ E ⩽ ۱∀ بنابراین در نظر م گیریم
L E E,
,
بهطریق مشابه داریم
L^p(E) = L(L^p−^۱(E)),
در نتیجه
E ⊇ L(E) ⊇ L²(E) ⊇ … ⊇ L^p(E) ⊇ ….
بنابراینL(E) ⊂ E ^{و درنتیجه دنباله} ۱_⩾{L^k(E)}k ^ی دنباله نزول از مجموعه های فشردهی ناته است. طبققضیه ٩.٢.٣ م دانیم که حد این دنباله برابر مجموعهF است و بایست با اشتراک زیر مساوی باشد
.
تعریف ٣.٢.١١. هرگاهF ی مجموعه پایا دارای ویژگ (F = _klim L^k(E باشد دراینصورت م گوییمF ی_∞→
جاذب است و آنرا فراکتال م نامیم.

٣.٣ سیستمهای ت رار توابع کمین

تعریف ٣.٣.١. سیستم ت رار توابع ₍IFS(_{X;S1,S2,…,Sk} ی سیستم کمین نامیده م شود اگر تنها زیرمجموعههایبسته و پایای تحتS_i ها، ته و خودX باشد. بعبارت معادل
∀x ∈ X , O⁺(x) = {S_i1o…oS_it(x); 1 ≤ i_t ≤ k} = X.
لم ٣.٣.٢. فرض کنیدF ی جاذب منحصربفرد برای سیستم ت رار توابع انقباض (IFS(X;S₁,S₂,…,S_k باشد
دراینصورت سیستم (IFS(F;S₁,S₂,…,S_k کمین است.
برهان. فرض م کنیمE ی زیرمجموعه بسته و ناته ازF باشد بهطوریکه
∀۱ ≤ i ≤ k , S_i(E) ⊆ E
در اینصورت طبق نتیجه ١٠.٢.٣ داریم
∞
F = i∩=۰ Lⁱ(E), i
⇒ ∀i ⩾ ۰ , F ⊂ L (E).
در حالت خاص اگر _۰=i در نظر ب یریم داریم(٣.٣)F ⊂ L⁰(E) = E ⇒ F ⊂ E ۶٣
از فرض برهان و رابطه (٣.٣) نتیجه م گیریم کهE _= F و بنابراین م توان نتیجه گرفت که تنها زیرمجموعههای
بسته و پایای تحتS_i ها ، ته و خودF هستند لذا با توجه به قضیه ٢.٢.١، سیستم (IFS(F;S₁,S₂,…,S_kکمین است.

۴.٣ مجموعه های پایا با درون ناته

اکنون به مطالعه سیستمهای م پردازیم که ی مجموعه پایا با درون ناته دارند. ابتدا چند تعریف و نمادگذاریکه در ادامه مورد نیاز م باشد را ارائه م کنیم.
تعریف ٣.۴.١. فرض م کنیمM ی منیفلدm -بعدی فشرده باشد. فضای تمام ن اشتهای روی منیفلدM را
که مشتق مرتبه اول آنها موجود و پیوسته است را با ₍Diff¹_(M نمایش م دهیم و تعریف م کنیم
∀x ∈ M ; Γ(x) = {g ∈ Diff ,
بنابراین
Γ(x) ⊂ Diff¹(M).
تعریف ٣.۴.٢. برای _۰C¹ ،r > -توپولوژی روی منیفلدM توسط گویهای باز
,{B(f,r) = {g ∈ Diff¹(M) | d(f,g) < rایجاد م گردد که در آن مترd با رابطه زیر تعریف م شود
 .
همچنینDf مشتق ن اشتf است.
تعریف ٣.۴.٣. فرض م کنیمa ∈ M وV ی همسای باز از نقطهیa باشد. در اینصورت
C_V = {g ∈ Diff¹(M) | g(V ) ⊂ V ∧ ∀x ∈ V , g ∈ Γ(x)}.
در ^۱C -توپولوژی،C_V ی مجموعهی باز است.
تبصره ٣.۴.۴. ن اشتα _: CV → V که هر ن اشت درC_V را به نقطهی ثابت آن ن اشت درV م برد، پیوستهاست.
تعریف ٣.۴.۵. مجموعهی نقاطp₁,p₂,…,p_m+1} ⊂ R^m } مستقل آفین نامیده م شود اگر مجموعهی
، مستقل خط باشد.
قضیه ٣.۴.۶. فرض م کنیم {_۱+L = {S₁,S₂,…,S_m ^{که برای هر} ۱+S_i ∈ C_V ،۱ ≤ i ≤ m . و
{(۱+α(S1),α(S2),…,α(Sm} مستقل آفین باشند دراینصورت مجموعهی فشردهی با درون ناتهF وجود دارد
بهطوریکه سیستم ت رار توابع (_۱+IFS(F;S₁,S₂,…,S_m کمین است .
٣.۴. مجموعه های پایا با درون ناته ٣٧
برهان. در لم ٢.٣.٣ نشان دادیم که سیستم ت رار توابع (_۱+IFS(F;S₁,S₂,…,S_m سیستم کمین است. بنابرایندر اینجا کافیست نشان دهیم که درون مجموعهیF ناته است. برای اینمنظور فرض م کنیمV ⊂ R^m وS1,S2,…,Sm+1} ⊂ CV} بهطوریکه زیرمجموعهی {(۱+α(S1),α(S2),…,α(Sm} مستقل آفین است. علاوهبر این،S_i ها را طوری انتخاب م کنیم که ₍₍DS_i(α(Si مضرب از همان باشد. حال سیستم خط ₌ ^˜L