وبلاگ

با توجه به (۴-۳۶) داریم :

(از فصل ۲- قسمت ۵) :

از (۴-۳۷) داریم که کاهش نیوتنF برابر  است و با توجه به تعریف که F خود هماهنگ روی  ، یک مانع ϑ- خود هماهنگ برای K است .□

برخی از مثال‌های مانع‌های خود هماهنگ را بیان می‌کنیم .
مثال ۴-۳-۱ : مانع لگاریتمی استاندارد  برای ناحیه مثبت فضای ^[۴۰] یک مانع -n خود هماهنگ همگن لگاریتمی است .
مثال ۴-۳-۲ : تابع  یک مانع ۲- خود هماهنگ همگن لگاریتمی برای مخروط بستنی^[۴۱] زیر است .

مثال ۴-۳-۳ : تابع  یک مانع n-خود هماهنگ لگاریتمی برای مخروط  (ماتریس‌های  نیمه معین مثبت و متقارن) است .
قواعد ترکیبی موانع خود هماهنگ همگن لگاریتمی کاملا مشابه موانع خود هماهنگ است .
گزاره ۴-۳-۲ : الف) اگرF مانع ϑ- خود هماهنگ همگن لگاریتمی برای  باشد آن گاه تابع  نیز یک مانع ϑ- خود هماهنگ همگن لگاریتمی است (که A ماتریسی از K است) .
ب) فرض کنیم  موانع  - خود هماهنگ همگن لگاریتمی برای مخروط‌های  باشند و  . فرض کنیم مخروط  درون ناتهی دارد ؛ آن گاه تابع  یک مانع  - خود هماهنگ همگن لگاریتمی برای K است .
پ) فرض کنیم  موانع  - خود هماهنگ همگن لگاریتمی برای مخروط‌های  باشند . آن گاه جمع مستقیم موانع  یک مانع  - خود هماهنگ همگن لگاریتمی برای ضرب مستقیم مخروط‌های  است .
حال خواص مانع خود هماهنگ همگن لگاریتمی را بیان می‌کنیم :
گزاره ۴-۳-۳ : اگر  یک مخروط محدب ، بسته و گوشه‌دار با درون ناتهی باشد وF یک مانع ϑ- خود هماهنگ همگن لگاریتمی برای K باشد ، آن گاه :
الف) دامنه تبدیل لژاندر مانع F (یعنیDomF*) دقیقا درون مخروط-K* است و F* یک مانع ϑ- خود هماهنگ همگن لگاریتمی برای-K* است . به طور کلی ، نگاشت
(۴-۳۹)
نگاشتی یک به یک از  به  با معکوس  است .
ب) به ازای هر  و  نامساوی زیر برقرار است :
(۴-۴۰)
و در نامساوی فوق ، تساوی برقرار است اگر و تنها اگر
(۴-۴۱)
به ازای t های مثبت.
برهان: الف) از گزاره ۴-۳-۱ می‌دانیم که F ناتباهیده است . پس روی دامنه‌اش (Q) خود هماهنگ است و  تصویر  تحت نگاشت یک به یک (۴-۳۹) است و معکوس نگاشت به صورت  است. (فصل ۲-قسمت های L-1 تا L-3 و قسمت ۸) بنابراین از (۴-۳۵) داریم که Q یک مخروط باز است . در واقع ، هر نقطه  را می‌توان به صورت  برای برخی  ارائه کرد (با توجه به  )، آن گاه  متعلق به Q است و این نشان می‌دهد که  مخروطی بسته و محدب با درون ناتهی است .
حال ثابت می‌کنیم  که معادل با اثبات عبارت زیر است :
(۴-۴۲)
(که شامل s های به طور اکید منفی روی K است یعنی  به ازای هر  ، منفی است ( قسمت ۴-۳-۱ را ببینید)) .
برای اثبات رابطه (۴-۴۲) باید دو رابطه زیر را ثابت کنیم :
(۴-۴۳)
رابطه (۴-۴۳)-Ι به راحتی اثبات می‌شود . در واقع باید بررسی کنیم که به ازای  و  روی K اکیدا منفی است یعنی  به ازای هر  منفی است ، که با توجه به نتیجه ۳-۲-۱ به دست می‌آید ؛ چون K یک مخروط است و  یک جهت بازگشتیK است داریم :

بنابراین  و چونY غیرصفر وF ناتباهیده است :

برای اثبات (۴-۴۳) - ΙΙ باید ثابت کنیم اگرs رویK ، به طور اکید منفی باشد آن گاه برای  داریم :  چون s روی k به طور اکید منفی است مجموعه زیر کراندار است (قسمت ۴-۳-۱)
(۴-۴۴)
تحدیدF به ناحیه داخلی این مجموعه یک تابع خود هماهنگ روی rintK است (گزاره ۲-۱-۱ - قسمت الف) چون کراندار است ،تابع F به مینیمم مقدارش روی ناحیه داخلی  و نقطه y می‌رسد بنابراین

که λ مثبت است (زیرا  منفی است با توجه به (۴-۳۷) و  ؛ توجه کنید  ) . چون λ مثبت است و  از (۴-۳۵) می‌توانیم  را محاسبه کنیم:

و با در نظر گرفتن  داریم :

پس رابطه (۴-۴۲) ثابت شد .
دیدیم که روی ناحیه داخلی مخروط، خود هماهنگ است ، برای تکمیل اثبات Ι کافی است نشان دهیم :

بنابراین :

ب) ابتدا به ازای  و  داریم :

(چون مانع ϑ- خود هماهنگ همگن لگاریتمی است با توجه به Ι و  )

(با توجه به تعریف تبدیل لژاندر داریم :  )

بنابراین در (۴-۴۰) تساوی رخ می‌دهد اگر  به ازای  .
برای تکمیل اثبات (۴-۴۰) کافی است نشان دهیم اگر s,x به گونه‌ای باشد که
(۴-۴۵)