(۲-۳۶)
اگر تعداد ذرات دستگاه ثابت نباشد قید(۲-۲۸) دیگر برقرار نخواهد بود. در این صورت را قرار می‌دهیم. در این حالت توزیع بوز-انیشتین به صورت زیر در می‌آید:
(۲-۳۷)
این رابطه به توزیع پلانک معروف است.
اگر ترازهای انرژی پیوسته باشند، تعداد ذرات با انرژی بین عبارت است از:
(۲-۳۸)
برای توزیع بوز-انیشتین و
(۲-۳۹)
برای توزیع پلانک.
۲-۵-چگالش بوز-انیشتین
در دستگاهی از بوزونها می‌توان تعداد نامحدودی ذره را در حالتی یکسان جای داد. اگر بتوان دستگاهی از بوزونها را تا دمایی پایینتر از یک دمای معین سرد کرد، قاعدتا بیشتر ذرات و در حالت آرمانی همه ذرات را در حالتی یکسان (معمولا حالت پایه) قرار داد. این پدیده چگالش بوز-انیشتین نام دارد.
گاز بوزونی با تعداد ذرات ثابت از توزیع بوز-انیشتین پیروی می‌کند که در آن باید از انرژی حالت پایه کمتر باشد زیرا در غیر این صورت یعنی تعداد ذرات در حالت پایه منفی است که نتیجه‌ای بی معنی است. با کاهش دما تعداد بیشتری ذره در حالت پایه قرار می‌گیرد، یعنی با کاهش دما باید افزایش یابد و در آخر به انرژی حالت پایه نزدیک شود. تعداد ذرات در حالت پایه برابر است با:
(۲-۴۰)
اگر بیشتر ذرات در حالت پایه باشند داریم:
(۲-۴۱)
اگر دستگاهی دارای ذره باشد و دما آنقدر پایین باشد که بیشتر آنها در حالت پایه باشند، با تقریب خوبی داریم و در نتیجه:
(۲-۴۲)
۲-۶-مکانیک آماری و روابط ترمودینامیکی
با توجه به خواص آماری فرمیون‌ها و بوزونها می‌خواهیم چند رابطه ترمودینامیکی را بیان کنیم. همان‌طور که ملاحطه کردیم احتمال وجود ذره با تبهگنی می‌باشد پس:
(۲-۴۳)
و احتمال اینکه ذره تبهگنی را نداشته باشد برابر است با:
(۲-۴۴)
آنتروپی کل سیستم نیز با بهره گرفتن از رابطه(۲-۱۳) به دست می‌آید. از آنجا که هر نوکلئون دارای دو حالت اسپینی و دو حالت ایزواسپینی است خواهیم داشت:
(۲-۴۵)
با بهره گرفتن از آنتروپی سیستم می‌توان سایر کمیتهای ترمودینامیکی زیر را به دست آورد.
انرژی آزاد هلمهولتز
(۲-۴۶)
انرزی آزاد گیبس
(۲-۴۷)
آنتالپی
(۲-۴۸)
که در آن انرژی بستگی بر نوکلئون و برابر مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. فشار نیز از مشتق‌گیری انرژی آزاد هلمهولتز به دست می‌آید[۲۹]:
(۲-۴۹)
همچنین تراکم ناپذیری سیستم برابر است با[۲۹]:
(۲-۵۰)
فصل سوم :
نظریه بسط خوشه ای
مقدمه
نیروهای هسته‌ای نیروهای بسیار پیچیده‌ای هستند بنابراین برای حل مسائل هسته‌ای از مدل‌های هسته‌ای مانند مدل‌های ذره مستقل، جفت مستقل، نظریه هارتری-فوک و نظریه بسط خوشه‌ای استفاده می‌کنیم[۳۰]. واژه‌ی مدل به این دلیل استفاده می‌شود که تاکنون هیچ نظریه‌ی معتبری مانند آنچه برای برهم‌کنش الکترومغناطیسی بیان شده است بنا نشده است. در این فصل نظریه بسط خوشه‌ای را مورد بررسی قرار می‌دهیم.
۳-۱-نظریه بسط خوشه ای
سیستمی که از ذره تشکیل شده است و در آن هر دو ذره از طریق پتانسیل با هم برهم‌کنش می‌کنند عملگر هامیلتونی به صورت زیر نوشته می‌شود:
(۳-۱)
که در آن جمله اول عملگر انرژی جنبشی و جمله دوم عملگر انرژی پتانسیل برهم‌کنش دو ذره‌ای است. برای محاسبه انرژی این سیستم باید مقدار چشم‌داشتی هامیلتونی را با دقت دلخواه محاسبه کنیم. در روش بسط خوشه‌ای یک تابع موج حدسی برای سیستم تعریف می‌کنیم. مقدار چشم‌داشتی انرژی برابر است با:
(۳-۲)
اگر تعداد ذرات کم باشد مقدار چشم‌داشتی انرژی سیستم را می‌توان از رابطه(۳-۲) بدست آورد. اما اگر تعداد ذرات زیاد باشد محاسبه انتگرال‌های بعدی کار بسیار پیچیده‌ای است به همین دلیل برای محاسبه انرژی سیستم از یک روش تقریبی به نام روش بسط خوشه‌ای استفاده می‌کنیم[۳۱و۳۲و۳۳] از آنجائی‌که ذرات با یکدیگر برهم‌کنش می‌کنند این برهم‌کنش را توسط عملگر همبستگی وارد مسئله می‌کنیم. بنابراین تابع موج حدسی سیستم را به صورت زیر می‌نویسیم:
(۳-۳)
که در آن عملگر همبستگی ذرات و تابع موج غیربرهم‌کنشی سیستم است. عملگر همبستگی دارای خصوصیات زیر است:
۱)تحت تعویض ذرات متقارن است.
(۳-۴)
۲)تحت انتقال ناورد‌است.
(۳-۵)
۳)دارای خاصیت خوشه‌ایست.
(۳-۶)
فرم در حال بارگذاری ...
