وبلاگ

فصل سوم
عمل گروه‌وار و کاربرد آن در -فضاها
تعریف ۳-۱٫ عمل چپ گروه‌وار
فرض کنید یک گروه‌وار روی و یک مجموعه‌ی دلخواه باشد. عمل چپ روی ، شامل یک تابع و یک تابع جزئی
است جایی‌که
به طوری‌که به هر ، یک عنصر نظیر می‌شود که، و.
همچنین باید در قوانین زیر صادق باشد:
۱- اگر و ، آ‌ن‌گاه ‌.
۲- اگر، و ، آن‌گاه .
بنابراین می‌گوییم روی توسط از چپ عمل می‌کند. همچنینیک –مجموعه می‌باشد.

نکته ۳-۲٫ از تعریف بالا برای یک عمل می‌بینیم که عنصر ، نگاشت دوسویی
را تعریف می‌کند.
تعریف ۳-۳٫ عمل متعدی
اگر برای هر ، و ، یک ، موجود باشد به طوری‌که ، عمل را متعدی گوییم.
تعریف ۳-۴٫ فرض کنیم یک ریخت پوششی باشد.
اصطلاحاً می‌گوییم عنصر از ، را می‌پوشاند یا یک بالابر از می‌باشد. به طور مشابه می‌گوییم ترکیب در ،را می‌پوشاند یا یک بالابر از است.
گزاره ۳-۵٫ فرض کنیدیک شیء از و . اگر متعلق به باشد آن‌گاه عناصر یکتای از وجود دارند به طوری‌که
۱- برای، .
۲- به‌صورت تعریف می‌شود و متعلق به می‌باشد.
برهان. فرض کنید برای هر ، نگاشت دوسویی باشد. بنابراین عناصر با قرار دادن شرایط زیر به طور یکتا تعریف می‌شوند.
۱- .
۲- .
۳- جایی‌که و برای ، نقطه‌ی پایانی باشد.
بنابراین ترکیب بامعنا می‌باشد و نقطه‌ی شروع همان نقطه‌ی شروع یعنی می‌باشد. پس .■
مثال ۳-۶٫ فرض کنید یک ریخت پوششی از گروه‌وارها باشد. همچنین فرض کنید و ، آن‌گاه یک عمل چپ از روی توسط را به این‌صورت تعریف می‌کنیم که به هر و ، هدف بالابر یکتایبا منبع را نسبت می‌دهیم. به این‌ معنی که عمل را هدف بالابر یکتای تعریف می‌کنیم.
بالابر یکتای را در نظر می‌گیریم. طبق تعریف ۳-۴، و چون یک ریخت است پس و . بنابراین داریم:
و
پس تابع
تعریف‌شده می‌باشد. حال شرایط عمل را بررسی می‌کنیم.
۱- برای و ، داریم . چون یک طوقه با منبع می‌باشد پس . بنابراین .
۲- برای ، و داریم:
و
تعریف ۳-۷٫ ریخت بین عمل‌های چپ گروه‌واری
یک ریخت از عمل‌های چپ، یک تابع است به طوری‌که
و
جایی‌که تعریف‌شده باشد.
بنابراین اگر تعریف‌شده باشد، داریم و چون ، پس . درنتیجه نیز تعریف شده می باشد.
نکته ۳-۸٫براساس تعاریف ۳-۱ و ۳-۷، رسته‌ی از عمل‌های چپ روی مجموعه‌ها را داریم.
تعریف ۳-۹٫ عمل راست گروه‌وار
فرض کنید یک گروه‌وار روی و یک مجموعه‌ی دلخواه باشد. یک عمل راست روی شامل یک تابع و یک تابع جزئی
می باشد جایی‌که
به‌طوری‌که به هر یک عنصر نظیر می‌شود که ، و .
همچنین در قوانین زیر صادق باشد:
۱- اگر و ، آن‌گاه .
۲- اگر ، و ، آن‌گاه .
بنابراین می‌گوییم روی توسط از راست عمل می‌کند.